Đề thi vào Đại học Quốc gia Hà Nội 1995 - Khối A

Trong quá trình xây dựng blog cá nhân và nhân dịp có dự thảo phương án tuyển sinh năm 2014, tôi xin giới thiệu đề thi vào đại học của Trường Đại học Quốc gia Hà Nội năm 1995. Thời kỳ này các trường Đại học thực hiện tự chủ trong tuyển sinh (các trường tổ chức thi riêng).

A. PHẦN BẮT BUỘC
Câu I: cho hàm số $y = \dfrac{(x-1)^2}{x-2} (1)$.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2) Hãy xác định hàm số $y = f(x)$ sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của hàm số (1) qua điểm $M(1, 1)$. 

Câu II:
1) Giải phương trình: $\sqrt[3]{\dfrac{2x}{x+1}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2x}}=2$
2) Giải hệ phương trình:
$
\begin{cases}
 2^x-2^y=(y-x)(xy+2)\\
x^2+y^2=2
\end{cases}
$

Câu III:
1) Giải phương trình: $ 4\sin{2x}-3\cos{2x}=3(4\sin{x}-1)$
2) Cho $A, B, C$ là các góc của một tam giác. Chứng minh rằng:
$$\cos{(\dfrac{A-B}{2})}+\cos{(\dfrac{B-C}{2})}+\cos{(\dfrac{C-A}{2})}\le \cos{\dfrac{1}{3}(A-\dfrac{\pi}{3})}+\cos{\dfrac{1}{3}(B-\dfrac{\pi}{3})}$$
$+\cos{\dfrac{1}{3}(C-\dfrac{\pi}{3})}$

B. PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chọn chỉ một trong hai câu IVa hoặc IVb)
Câu IVa:
1) Trên mặt phẳng tọa độ trực chuẩn cho hai đường parabol
$$y=8-3x-2x^2; \;\;\text{và}\;\; y=2+9x-2x^2$$
a) Hãy xác định các giá trị $a$ và $b$ sao cho đường thẳng $y=ax+b$ đồng thời là tiếp tuyến của hai parabol và xác định tọa độ của các tiếp điểm.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol đã cho và tiếp tuyến đã được xác định ở trên.
2) Trên mặt phẳng tọa độ trực chuẩn đã cho các điểm $P(2, 3), Q(4, -1)$ và $R(-3, 5)$ là các trung điểm của các cạnh của một tam giác. Hãy lập phương trình của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó.

Câu IVb:
1) Tính giới hạn $\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\dfrac{\sin^2{2x}-\sin{x}\sin{4x}}{x^4}}$

2) Cho hình tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB=x$ hai mặt $(ACD)$ và $(BCD)$ là những tam giác đều cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$.
a) Xác định $x$ khi $DM$ là đường cao của hình tứ diện $ABCD.$
b) Giả sử $DM$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình tứ diện $ABCD.$